什么是微分方程

什么是一阶微分方程？

$$\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$$
初一看可能会觉得奇怪，因为左边$$\frac{dy}{dt}$$是关于$$t$$的函数，而右边是关于$$t$$和$$y$$的函数，但是注意到$$y$$是$$t$$的函数，因此是没有问题的。

什么是初值问题（initial value problem）？

给定$$\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$$，以及$$y(t_0)=y_0$$的问题。

注意符号

微分方程$$\frac{dy}{dt}=2t$$的解为:$$y(t)=t^2+C$$
微分方程$$\frac{dy}{dt}=2y$$的解为:$$y(t)=y_0e^{2t}$$

一般解（general solution）是什么？

像上面的解中，$$C$$和$$y_0$$的取值为任意合理值，则解为一般解。

检查方法

可以通过求导的方法来验证一个微分方程的解是否正确。

Python

求导函数：

    import sympy
    from sympy.abc import t
    sympy.diff(1/(t**2+1),t)
    # result : -2*t/(t**2 + 1)**2

已知微分方程：$$\frac{dy}{dt}=2y+1$$，检验$$y(t)=3e^{2t}-1/2$$是否为其解

    from sympy import E as E
    y = 3*E**(2*t)-1.0/2
    print sympy.diff(y,t) == 2*y+1
    # result is: True

用Matlab求微分方程的解：

$$\frac{dw}{dt}=w$$

    w = dsolve('Dw=w')

Python中:

    from sympy import Function, dsolve, Derivative
    w = Function('w')
    dsolve(Derivative(w(t),t)-w(t),w(t))
    # result is: w(t) == C1*exp(t)