例1：计算$$\int(cost^2)dt$$
这个不定积分非常困难，其结果包含Fresnel $$C$$函数。
import sympy
from sympy.abc import t
print sympy.integrate(sympy.cos(t**2),t)
# result is: sqrt(2)*sqrt(pi)*fresnelc(sqrt(2)*t/sqrt(pi))*gamma(1/4)/(8*gamma(5/4))
例2：计算$$\int(cost^2)(2t)dt$$
这个不定积分就简单得多，可以用换元积分法来求解。
令：$$u=t^2,du=2tdt$$
则：$$\int(cost^2)(2t)dt=\int(cosu)du\
\ =sinu+C\
\ =sint^2+C$$
print sympy.integrate(sympy.cos(t**2)*2*t,t)
# result is: sin(t**2)
一般地，换元积分法表示为：
$$\int g(u)(\frac{du}{dt})dt = \int g(u)du \
\ = G(u) + k$$
其中：$$G'(u)=g(u)$$
练习：
$$\int \frac{4x}{1+4x^2}dx$$
换元方法：
$$g(u)=\frac{1}{u},\qquad G(u)=ln(u)\ \ u={1+4x^2}\ \ du=8xdx$$
$$\int \frac{4x}{1+4x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+4x^2}8xdx\ \qquad = \frac{1}{2} \int g(u)du\ \qquad = \frac{1}{2} ln(u)+C\ \qquad = \frac{1}{2} ln(1+4x^2)+C$$
微分方程$$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$$若能写成$$\frac{dy}{dt}=(f_1{(t)})(f_2{(y)})$$的形式，则称为可分方程。
可分方程可以通过分变量的方法通过换元方法"求解"：
$$\frac{dy}{dt}=(f_1{(t)})(f_2{(y)})\
(\frac{1}{f_2{(y)}})(\frac{dy}{dt})=f_1{(t)}$$
令$$g(y)=(\frac{1}{f_2{(y)}})$$
则有：$$g(y)(\frac{dy}{dt})=f_1{(t)}$$，两边同时针对$$t$$积分:
$$\int g(y)(\frac{dy}{dt})dt=\int f_1{(t)}dt\ \int g(y)dy=\int f_1{(t)}dt$$
例1：
$$\frac{dy}{dt}=-2ty^2\
\ =(-2t)(y^2)$$
是可分的
from sympy.abc import y
f = -2*t*y**2
print sympy.separatevars(f, symbols=(t,y))
# result is : -2*t*y**2
例2：
$$\frac{dy}{dt}=y^3+t^2$$ 是不可分的
print sympy.separatevars(y**3+t**2, symbols=(t,y))
# result is : t**2 + y**3
练习:
$$\frac{dy}{dt}=ty+ty^2$$
print sympy.separatevars(t*y+t*y**2, symbols=(t,y))
# result is : t*y*(y + 1)
$$\frac{dy}{dt}=t^2y+ty^2$$
print sympy.separatevars(t**2*y+t*y**2, symbols=(t,y))
# result is : t*y*(t + y)
方程可分，并不表示真正可解，拆分成$$\int g(y)dy=\int f_1{(t)}dt$$形式后，仍需要两边的积分可求解才行。
$$\frac{dy}{dt}=-2ty^2=(-2t)(y^2)\ \ (\frac{1}{y^2})(\frac{dy}{dt})=-2t\ \ \int \frac{1}{y^2}dy=\int -2tdt\ \ -1\frac{1}{y}=-t^2+C\ \ y^{-1}=t^2+C\ \ y(t)=\frac{1}{t^2+C}
$$
练习（初值问题）：
若给定$$y(0)=\frac{1}{2}$$，则：$$c=2,y(t)=\frac{1}{t^2+2}$$
其定义域为：$$t\in (-\infty, \infty)$$
若给定$$y(0)=-\frac{1}{2}$$，则：$$c=-2,y(t)=\frac{1}{t^2-2}$$
其定义域为：$$-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$$
若给定$$y(-2)=\frac{1}{2}$$，则：$$c=-2,y(t)=\frac{1}{t^2-2}$$
其定义域为：$$-\infty<t<-\sqrt{2}$$
若给定$$y(2)=\frac{1}{2}$$，则：$$c=-2,y(t)=\frac{1}{t^2-2}$$
其定义域为：$$\sqrt{2}<t<\infty$$
虽然这三个解的形式相同，但初值不同，定义域不同，因此是三个不同的解。
另外$$\forall t, y(t)=0$$也满足微分方程，称为平衡解（equilibrium solution）。
因此两者合起来才是该微分方程的一般解。
练习：
$$\frac{dy}{dt}=2ty^2+3y^2\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}=2t+3\ \int \frac{1}{y^2}dy = \int (2t+3)dt\ -1\frac{1}{y}=t^2+3t+c\ y(t)=-1\frac{1}{t^2+3t+C}
$$
另外$$y(t)=0$$也满足。
from sympy import Function, dsolve, Derivative
y = Function('y')
dsolve(Derivative(y(t),t)-2*t*(y(t))**2-3*(y(t))**2,y(t))
# result is : y(t) == -1/(C1 + t**2 + 3*t)
假设现在有一杯70度的咖啡（T(0)=70），室温为20度（C=20），且知道当前咖啡冷却的速率为5度/分钟（$$\frac{dT}{dt}\bigg|_{t=0}=-5$$），求咖啡冷却至40度所需时间。
$$\frac{dT}{dt}=\alpha(T-20)$$
$$\frac{dT}{dt}\bigg|_{t=0}=\alpha(70-20)=-5\ \qquad \implies \alpha = -0.1\ \frac{dT}{dt}=-0.1(T-20), T(0)=70$$
通过分离变量法求解：
$$\frac{1}{T-20}\frac{dT}{dt}=-0.1\ \int\frac{1}{T-20}dT=\int -0.1dt\ ln(T-20)=-0.1t+C\ T-20=e^{-0.1t+C}\ T(t)=20+Ke^{-0.1t}
$$
带入初值：
$$T(0)=20+K=70\ \implies K=50\ T(t)=20+50e^{-0.1t}
$$
求所需时间：
$$20+50e^{-0.1t}=40\ \implies t = -ln(\frac{2}{5})\approx 9.2$$
T = Function('T')
from sympy.abc import c, a
dsolve(Derivative(T(t),t)-a*(T(t)-c),T(t))
# result is : T(t) == C1*exp(a*t) + c