微分方程解的存在性和唯一性

微分方程的定义域

$$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$$ 定义微分方程的定义域为：
所有使得$$f(t,y)$$有意义的$$t-y$$平面范围。

例如：

$$\frac{dy}{dt} = y^3+t^2$$

$$\frac{dy}{dt} = y^2$$
的定义域都是整个$$t-y$$平面

$$\frac{dy}{dt} = \frac{y}{t}$$
的定义域是整个$$t-y$$平面除去$$y$$坐标

存在性定理：

如果$$f(t,y(t))$$在范围$${(t,y)| a0$$，当$$t_0-\epsilon < t < t_0 + \epsilon $$时，初值问题有解。

例如：

$$\frac{dy}{dt}=1+y^2,\qquad y(0) = 0$$ 方程右边$$1+y^2$$在$$t-y$$平面是连续的，满足定理条件。
通过分离变量法求得$$y(t)=tan(t+C)$$ 带入初值，求出$$C = 0$$，因此解为$$y(t)=tan(t)$$

    import sympy
    from sympy.abc import t
    from sympy import Function, Derivative, dsolve, Eq
    y = Function('y')
    formula = 1+y(t)**2
    solutions = dsolve(Eq(Derivative(y(t),t),formula))
    print solutions
    # result is : y(t) == -tan(C1 - t)
    solution = solutions.args[1].subs('C1',solve(Eq(solutions.args[1].subs(t,0),0))[0])
    print solution
    # result is : tan(t)

知道$$tan(t)$$的定义域为$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$
意味着本例子中$$\epsilon = \frac{pi}{2}$$

唯一性定理

先看一个微分方程初值问题的例子：

$$\frac{dy}{dt}=\sqrt[3]{y}sin(2t), \qquad y(0)=0$$
考虑下面三个函数，看函数图：

1. 蓝色（平衡解）：
   $$y_1(t) = 0, \forall t \in \mathbb{R}$$
2. 黑色：
   $$y_2(t) = \sqrt{\frac{8}{27}}sin^3t$$
3. 红色：
   $$y_2(t) = -\sqrt{\frac{8}{27}}sin^3t$$

    tdomain = np.linspace(-7,7,30)

    formula = sympy.root(y(t),3)*sympy.sin(2*t)

    solution1 = 0
    solution2 = (8.0/27)**0.5*(sympy.sin(t))**3
    solution3 = -1*(8.0/27)**0.5*(sympy.sin(t))**3

    plt.plot(tdomain, [0 for i in tdomain], 'blue', \
         tdomain, np.array([solution2.subs(t, tval) for tval in tdomain]), 'black',\
         tdomain, np.array([solution3.subs(t, tval) for tval in tdomain]), 'red')

这三个函数都是微分方程的解（第一个是平衡解）。

唯一性定理：
如果$$f(t,y)$$以及$$\partial f/\partial y$$范围$${(t,y)| a0$$，当$$t_0-\epsilon < t < t_0 + \epsilon $$时，该初值问题有唯一解。

注意到上例中的偏微分

    formula.diff(y(t))
    # result is : sin(2*t)/(3*y(t)**(2/3))

y不可取0，因而不是连续的，因此违背唯一性定理。

如果我们将定义域限定为$$y > 0$$，则原微分方程的有效初值问题均有唯一解。

例子

$$\frac{dy}{dt}=-2ty^2,\frac{\partial f}{\partial y}=-4ty$$
注意到$$f(t,y)$$和$$\partial f/ \partial y$$在$$t-y$$平面上均连续，因此微分方程不仅有解，给定初值则解为唯一解。

回到上节结束时的例子：

$$\frac{dy}{dt}=e^{t}siny,\qquad y(0)=5$$ 如果只看欧拉方法获得的近似解，会很让人迷惑。

因为$$f(t,y)$$在$$t-y$$平面是连续的，由存在性定理知道微分方程有解。
并且$$\frac{\partial f}{\partial y}=e^{t}cos(y)$$在$$t-y$$平面也是连续的，由存在性定理知道微分方程有唯一解。 注意到$$y(t)=k\pi, k \in \mathbb{R}$$是方程的平衡解。
而在$$k\pi < y < (k+1)\pi$$范围内，根据$$k$$的取值不同，$$\frac{dy}{dt}$$要么全为正，要么全为负，即无论初值如何，随着$$t$$的增加，$$y(t)$$总会收敛于$$k\pi$$