SIR流行病模型

模型由Kermack和McKendrick发明。模型中将人群分为下面三组：

1. 易受到感染的 susceptible
2. 感染了的 infective
3. 病好了的 removed

1前提假设：

• 1人口总数是常数
• 2感染人群的数量增长率与（感染人群和易受感染人群数量和）成正比
• 3易受感染人群的数量减少与上面相同
• 4感染人群中人们祛病的速率与受感染人群总数成正比
• 5潜伏期非常短，可以被忽略
• 6三组人是平均分布的，即：每个人都有同样的概率与任意一个人接触

2变量：

• 时间t
• S(t)
• I(t)
• R(t)

3模型：

• 由假设2,3,4有：$$\frac{dS}{dt} = - \alpha SI$$,$$\qquad \alpha$$为感染参数
• 由假设2,4,6有：$$\frac{dI}{dt} = \alpha SI - \beta I$$, $$\qquad \beta$$为祛病率
• 由假设1,4有：$$\frac{dR}{dt} = \beta I$$

三者结合获得模型:

$$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = - \alpha SI \ \frac{dI}{dt} = \alpha SI - \beta I \ \frac{dR}{dt} = \beta I \end{cases}$$

因为人口总数是常数，我们知道：

$$\frac{dS}{dt}+\frac{dR}{dt}+ \frac{dI}{dt} = 0$$

$$S(t)+I(t)+R(t) = N, \text{for all t}$$
其中任意一个方程都可以由另外两个方程的线性组合获得，因此让我们集中注意于二维平面。

$$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = - \alpha SI \ \frac{dI}{dt} = \alpha SI - \beta I \end{cases}$$

尝试寻找一下模型的平衡解吧： 若要$$\frac{dS}{dt} = - \alpha SI$$则，要么$$S(t)=0$$或者$$I(t)=0$$。 若要$$\alpha SI - \beta I = I(\alpha S - \beta) = 0$$则需要：$$I = 0$$或者$$S = \frac{\beta}{\alpha}$$

简单分析下模型： 因为$$\alpha, \beta, S, I, R$$都是非负的，因此$$S(t)$$是非增的，$$R(t)$$是非减的，而$$I(t)$$的增减性取决于1$$I$$是否为零；2$$\alpha S - \beta$$的符号正负。

这个$$S = \frac{\beta}{\alpha} = \rho$$是一个阈值，决定了$$I(t)$$的增减性。 也就是说一旦易受感染的人数$$S$$大于阈值，受感染的人数就会增加；一旦易受感染的人数$$S$$小于阈值，受感染的人数就会减少。

下面是一个事实： 方程组$$SI$$平面内的解曲线满足如下等式：

$$I+S-\rho ln(S) = \text{constant}$$
可以用初值以及$$I{max}$$时的$$S = \rho$$来求解最大感染人数$$I{max}$$

$$I{max} + \rho -\rho ln(\rho)= I_0 + S_0 - \rho ln(S-0)$$
代入数据即可求得$$I{max}$$